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海水受日月的引力作用,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系的表格:
時刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
選用函數y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)來模擬港口的水深與時間的關系.如果一條貨船的吃水深度是5米,安全條例規(guī)定至少有1.25米的安全間隙(船底與洋底的距離),則該船一天之內在港口內呆的時間總和為
8
8
小時.
分析:根據函數的周期算出ω=
π
6
,由振幅的大小和平衡位置的水深得出A=2.5,B=5.再由x=3時y=7.5,達到最大值,
建立關系式解出φ=2kπ(k∈Z)從而得到函數的表達式為:y=2.5sin
π
6
x+5(0≤x≤24).最后根據安全間隙的規(guī)定解關于x的不等式,結合0≤x≤24,得1≤x≤5或13≤x≤17,即可算出該船一天之內在港口內呆的時間總和.
解答:解:由題意知,可得
∵函數y=f(x)的周期T=12,振幅A=2.5,B=5,∴ω=
12
=
π
6

又∵x=3時y=7.5,達到最大值,
∴由7.5=2.5sin(
π
6
×3+φ)+5,得sin(
π
2
+φ)=1,
即cosφ=1,得φ=2kπ(k∈Z).
∴函數的表達式為:y=2.5sin
π
6
x+5(0≤x≤24);
由該船進出港時,水深應不小于5+1.25=6.25(m),
∴當y≥6.25時,貨船就可以進港,即2.5sin
π
6
x+5≥6.25,
∴sin
π
6
x≥
1
2
,得
π
6
+2kπ≤
π
6
x≤
6
+2kπ(k∈Z)
即1+12k≤x≤5+12k(k∈Z),結合0≤x≤24,得1≤x≤5或13≤x≤17.
即該船一天之內在港口內呆的時間段為凌晨1點到5點和下午13點到17點,停留的總時間為8小時
故答案為:8
點評:本題給出實際應用問題,求輪船在港口停留的總時長.著重考查了三角函數解析式求法和運用三角函數模型的解決應用問題等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•懷化二模)受日月引力的作用,海水會發(fā)生漲落,這種現(xiàn)象叫潮汐.在通常情況下,船在海水漲潮時駛進航道,靠近碼頭,卸貨后返回海洋.某港口水的深度y(m)是時間t(0≤t≤24,單位:h)的函數,記作:y=f(t),下表是該港口在某季每天水深的數據:
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 10.0 13.1 9.9 7.0 10.1 13.0 10.0 7.0 10.0
經過長期觀察y=f(x)的曲線可以近似地看做函數y=Asinωt+k的圖象.
(Ⅰ)根據以上數據,求出函數y=f(t)的近似表達式;
(Ⅱ)一般情況下,船舶航行時船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的(船舶?繒r,船底只需不碰到海底即可),某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m,如果該船想在同一天內安全進出港,問它至多能在港內停留多長時間(忽略進出港所需時間)?

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科目:高中數學 來源:2014屆四川省高三開學檢測文科數學試卷(解析版) 題型:填空題

海水受日月的引力作用,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近碼頭;卸貨后,在落潮時返回海洋.下面是港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系的表格:

時刻

0:00

3:00

6:00

9:00

12:00

15:00

18:00

21:00

24:00

水深

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

7.5

5.0

2.5

5.0

選用函數來模擬港口的水深與時間的關系.如果一條貨船的吃水深度是4米,安全條例規(guī)定至少有米的安全間隙(船底與洋底的距離),則該船一天之內在港口內呆的時間總和為____________小時

 

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年湖南省懷化市高三第二次模擬考試文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

受日月引力的作用,海水會發(fā)生漲落,這種現(xiàn)象叫潮汐. 在通常情況下,船在海水漲潮時駛進航道,靠近碼頭,卸貨后返回海洋.某港口水的深度是時間,單位:的函數,記作:,下表是該港口在某季每天水深的數據:

經過長期觀察的曲線可以近似地看做函數的圖象.

(Ⅰ)根據以上數據,求出函數的近似表達式;

(Ⅱ)一般情況下,船舶航行時船底離海底的距離為以上時認為是安全的(船舶?繒r,船底只需不碰到海底即可),某船吃水深度(船底離水面的距離)為,如果該船想在同一天內安全進出港,問它至多能在港內停留多長時間(忽略進出港所需時間)?

 

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