Question

（2012•鐘祥市模擬）已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3，

3

)．
（1）求sin2α-tanα的值；
（2）若函數(shù)f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函數(shù)y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)在區(qū)間[0，

2π

3

]上的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出角α的正弦、余弦、正切，再結(jié)合二倍角公式，即可得到結(jié)論；
（2）先將函數(shù)化簡(jiǎn)，確定角的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）因?yàn)榻铅两K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3，

3

)，所以sinα=

1

2

，cosα=-

3

2

，tanα=-

3

3

∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-

3

2

+

3

3

=-

3

6

…（6分）
（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R
∴y=

3

cos(

π

2

-2x)-2cos2x=

3

sin2x-1-cos2x=2sin(2x-

π

6

)-1
∵0≤x≤

2π

3

，∴0≤2x≤

4π

3

，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1，∴-2≤2sin(2x-

π

6

)-1≤1
故函數(shù)y=

3

f(

π

2

-2x)-2f2(x)在區(qū)間[0，

2π

3

]上的值域是[-2，1]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的定義，考查輔助角公式的而運(yùn)用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．