Question

求關于x的方程ax²-(a²+a+1)x+a+1=0至少有一個正根的充要條件.

Answer 1

方程至少有一正根的充要條件是a＞-1

解析:

方法一  若a=0，則方程變?yōu)?x+1=0,x=1滿足條件，若a≠0，則方程至少有一個正根等價于

?

或-1＜a＜0或a＞0.

綜上：方程至少有一正根的充要條件是a＞-1.

方法二  若a=0，則方程即為-x+1=0,

∴x=1滿足條件；若a≠0，∵Δ=(a²+a+1)²-4a(a+1)=(a²+a)²+2(a²+a)+1-4a(a+1)

=(a²+a)²-2a(a+1)+1=(a²+a-1)²≥0，∴方程一定有兩個實根.

故而當方程沒有正根時，應有解得a≤-1,

∴至少有一正根時應滿足a＞-1且a≠0,

綜上：方程有一正根的充要條件是a＞-1.