Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點為B，過點B且互相垂直的動直線l₁，l₂與橢圓的另一個交點分別為P，Q，若當l₁的斜率為2時，點P的坐標是（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線PQ與y軸相交于點M，設$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）寫出直線l的方程y=2x+b，由P點在直線上求得b，得到橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，再由點P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）在橢圓上求得a，則橢圓方程可求；
（2）設直線l₁，l₂的方程分別為y=kx+2，$y=-\frac{1}{k}x+2$，分別聯立直線方程與橢圓方程，求得M，Q的坐標，結合$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$求得實數λ的取值范圍．

解答 解：（1）l₁的斜率為2時，直線l₁的方程為y=2x+b．
由l₁過點P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$），得$-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}+b$，即b=2．
∴橢圓C的方程可化為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
由點P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）在橢圓上，得$\frac{25}{9{a}^{2}}+\frac{4}{9}=1$，解得a²=5．
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設直線l₁，l₂的方程分別為y=kx+2，$y=-\frac{1}{k}x+2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（4+5k²）x²+20kx=0，
即${x}_{P}=-\frac{20k}{5{k}^{2}+4}$，同理，可得${x}_{Q}=\frac{\frac{20}{k}}{\frac{5}{{k}^{2}}+4}=\frac{20k}{5+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，得$\frac{20k}{5{k}^{2}+4}=λ\frac{20k}{5+4{k}^{2}}$，
∴$λ=\frac{4{k}^{2}+5}{5{k}^{2}+4}=\frac{4}{5}+\frac{\frac{9}{5}}{5{k}^{2}+4}$，
∵5k²+4＞4，
∴0$＜\frac{\frac{9}{5}}{5{k}^{2}+4}＜\frac{9}{20}$，
∴實數λ的取值范圍為（$\frac{4}{5}，\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了向量法在求解問題中的應用，是中檔題．