Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫(xiě)出f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）已知△ABC的內(nèi)角分別是A，B，C，角A為銳角，且f（

A

2

-

π

12

）=

1

2

，cosB=

4

5

，求sinC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)圖象得到半周期，進(jìn)一步求得周期，再利用周期公式求ω的值，再由f（

π

6

）=1結(jié)合φ的范圍求得φ值，則函數(shù)解析式可求，再由函數(shù)圖象得到函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式結(jié)合f（

A

2

-

π

12

）=

1

2

求得A，由cosB=

4

5

求得sinB，利用sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）展開(kāi)兩角和的正弦求得sinC的值．

解答： 解：（Ⅰ）由圖象可知

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，得T=π=

2π

ω

，
即ω=2．
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）=1，可得sin（2×

π

6

+φ）=1．
∵φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
故f(x)=sin(2x+

π

6

)．
由圖象可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，sin[2(

A

2

-

π

12

)+

π

6

]=1，即sinA=

1

2

，
又角A為銳角，
∴A=

π

6

．
∵0＜B＜π，cosB=

4

5

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=

1

2

×

4

5

+

3

2

×

3

5

=

4+3 3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了已知三角函數(shù)值求角，訓(xùn)練了兩角和的正弦公式，是中檔題．