設(shè)f(x)是定義在(0,+∞)的可導(dǎo)函數(shù),且不恒為0,記gn(x)=
f(x)
n
(n∈N*)
.若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,總有g(shù)n(x)<0,則稱f(x)為“n階負(fù)函數(shù)”;若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,總有[gn(x)]≥0,則稱f(x)為“n階不減函數(shù)”([gn(x)]為函數(shù)gn(x)的導(dǎo)函數(shù)).
(1)若f(x)=
a
x3
-
1
x
-x
(x>0)既是“1階負(fù)函數(shù)”,又是“1階不減函數(shù)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)對(duì)任給的“n階不減函數(shù)”f(x),如果存在常數(shù)c,使得f(x)<c恒成立,試判斷f(x)是否為“n階負(fù)函數(shù)”?并說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)“n階負(fù)函數(shù)”的定義,f(x)=
a
x3
-
1
x
-x
同除x,設(shè)為g1(x)=
f(x)
x
=,將[g1(x)]′≥0化簡(jiǎn)整理,可得a≤
1
2
x2在(0,+∞)上恒成立,得到a≤0.代入g1(x)表達(dá)式,可得g1(x)<0在(0,+∞)上恒成立,由此可得滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,0];
(2)分兩步:①根據(jù)“存在常數(shù)c,使得f(x)<c恒成立”,結(jié)合反證法證出gn(x)≤0對(duì)任意x∈(0,+∞)成立,從而得到f(x)≤0任意x∈(0,+∞)恒成立;②根據(jù)“n階不減函數(shù)”的性質(zhì),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)證出方程f(x)=0無(wú)解.由以上兩條,即可得到所有滿足題設(shè)的f(x)都是“n階負(fù)函數(shù)”.
解答:解:(1)依題意,g1(x)=
f(x)
x
=
a
x4
-
1
x2
-1在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故[g1(x)]′=-
4a
x5
+
2
x3
≥0恒成立,得a≤
1
2
x2,…(2分)
因?yàn)閤>0,所以a≤0.                 …(4分)
而當(dāng)a≤0時(shí),g1(x)=
a
x4
-
1
x2
-1<0顯然在(0,+∞)恒成立,
所以a≤0.                            …(6分)
(2)①先證f(x)≤0:
若不存在正實(shí)數(shù)x0,使得gn(x0)>0,則gn(x)≤0恒成立.  …(8分)
假設(shè)存在正實(shí)數(shù)x0,使得gn(x0)>0,則有f(x0)>0,
由題意,當(dāng)x>0時(shí),gn′(x)≥0,可得gn(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x>x0時(shí),
f(x)
xn
f(x0)
x0n
恒成立,即f(x)>
f(x0)
x0n
•xn恒成立,
故必存在x1>x0,使得f(x1)>
f(x0)
x0n
•x1n>m(其中m為任意常數(shù)),
這與f(x)<c恒成立(即f(x)有上界)矛盾,故假設(shè)不成立,
所以當(dāng)x>0時(shí),gn(x)≤0,即f(x)≤0;        …(13分)
②再證f(x)=0無(wú)解:
假設(shè)存在正實(shí)數(shù)x2,使得f(x2)=0,
則對(duì)于任意x3>x2>0,有
f(x3)
x3n
f(x2)
x2n
=0,即有f(x3)>0,
這與①矛盾,故假設(shè)不成立,
所以f(x)=0無(wú)解,
綜上得f(x)<0,即gn(x)<0,
故所有滿足題設(shè)的f(x)都是“n階負(fù)函數(shù)”.        …(16分)
點(diǎn)評(píng):本題給出“n階負(fù)函數(shù)”和“n階不減函數(shù)”的定義,討論了n階負(fù)函數(shù)”f(x)能成為“n階不減函數(shù)”的條件,著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、反證法思想和不等式的性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=
12
對(duì)稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=
 

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例2.設(shè)f(x)是定義在[-3,
2
]上的函數(shù),求下列函數(shù)的定義域(1)y=f(
x
-2)
(2)y=f(
x
a
)(a≠0)

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設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,而當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=-x2+4x-4.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)對(duì)任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;
(Ⅲ)對(duì)任意x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,求證:|f(x2)-f(x1)|≤1.

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(2013•內(nèi)江一模)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2)且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=(
1
2
x-1,若在區(qū)間(-2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是
34
,2)
34
,2)

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