已知函數(shù)和函數(shù)f（x）=ax3-x2+1（a為常數(shù)）
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0有三個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】分析：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為：f′（x）=3ax2-2x=x（3ax-2），由條件a＞0得到不等式f′（x）＜0的解集是（0，），所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）；
（2）有關(guān)三次多項式的零點問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極大值和極小值與0比較大小的問題．方程f（x）=0有三個不同的解，即可轉(zhuǎn)化為[f（x）]極大•[f（x）]極小＜0，由此不難得出滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=ax3-x2+1的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=3ax2-2x=x（3ax-2）
f′（x）=0⇒x1=0，x2=＞0  （a＞0）
不等式f′（x）＜0的解集是（0，），
∴當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，）
（2）當a＞0時，由（1）可得函數(shù)f（x）=ax3-x2+1在（-∞，0）和（，+∞）上為增函數(shù)，
在（0，）上為減函數(shù)，而方程f（x）=0有三個不同的解
∴f（0）＞0且，解之得
同理，得到當a＜0時，使方程f（x）=0有三個不同的解的
綜上所述，得到符合題意的a的取值范圍是：
點評：本題以三次多項式函數(shù)為例，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和三次多項式函數(shù)的零點問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2對一切x∈[0，1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）試比較f(
1
2n
)與
1
2n
+2的大��；
（Ⅲ）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當x=
1
2n
（n∈N）時，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+a，g（x）=f（f（x）），a∈R．
（1）當a=-1時，分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的最小值及它們對應(yīng)的x值；
（2）是否存在實數(shù)A使得關(guān)于x的方程g（x）=0有實根，若存在，請求出A的取值范圍，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2lnx，g（x）=
1
2
ax2+3x．
（1）設(shè)直線x=1與曲線y=f（x）和y=g（x）分別相交于點P、Q，且曲線y=f（x）和y=g（x）在點P、Q處的切線平行，若方程
1
2
f（x2+1）+g（x）=3x+k有四個不同的實根，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）滿足F（x）+x[f′（x）-g′（x）]=-3x2-（a+6）x+1．其中f′（x），g′（x）分別是函數(shù)f（x）與g（x）的導(dǎo)函數(shù)；試問是否存在實數(shù)a，使得當x∈（0，1]時，F(xiàn)（x）取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•松江區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=x2+3x，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且對一切正整數(shù)n，點Pn（n，Sn）都在函數(shù)f（x）的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=2（an-1），n∈N*}，等差數(shù)列{bn}的任一項bn∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小數(shù)，且88＜b8＜93，求{bn}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=
nan-1
，是否存在正整數(shù)p，q（1＜p＜q），使得c1，cp，cq成等比數(shù)列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•武漢模擬）已知函數(shù)和函數(shù)f（x）=ax3-x2+1（a為常數(shù)）
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0有三個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案