Question

已知函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）在x=

2

處取得極小值-

4 2

3

．設(shè)f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)，定義數(shù)列{a_n}滿足：a_n=f′（

n

）+2（n∈N^*））．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）對(duì)任意m，n∈N^*，若m≤n，證明：1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3；
（Ⅲ）（理科）試比較（1+

1

an

）^m+1與（1+

1

an+1

）^m+2的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），從而a=c=e=0，再利用f（x）在x=

2

處取得極小值-

4 2

3

，建立方程組，即可求得函數(shù)解析式，利用a_n=f′（

n

）+2，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3等價(jià)于1+

m

n

≤(1+

1

n

)m＜3，利用二項(xiàng)展開(kāi)式，及放縮法可得結(jié)論；
（Ⅲ）解：(1+

1

n

)n+1＞(1+

1

n+1

)n+2等價(jià)于（n+1）ln（1+

1

n

）＞（n+1+1）ln（1+

1

n+1

），構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（1+

1

x

）（x≥1），則上式等價(jià)于證f*n）＞f（n+1）成立，求導(dǎo)函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：f′（x）=4ax³+3bx²+2cx+d，
∵函數(shù)f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（a，b，c，d，∈R）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），∴ax⁴-bx³+cx²-dx+e=-（ax⁴+bx³+cx²+dx+e），∴a=c=e=0
∴f（x）=bx³+dx，f′（x）=3bx²+d，
∵f（x）在x=

2

處取得極小值-

4 2

3

∴

f′( 2 )=0 f( 2 )=- 4 2 3

，∴

6b+d=0 2 2 b+ 2 d=- 4 2 3

，∴b=

1

3

，d=-2
∴f（x）=

1

3

x3-2x，∴f′（x）=x²-2，
∴a_n=f′（

n

）+2=n；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知1+

m

an

≤（1+

1

an

）^m＜3等價(jià)于1+

m

n

≤(1+

1

n

)m＜3．
因?yàn)?span id="yvgcgos" class="MathJye">(1+

1

n

)m≥

C

0 m

+

C

1 m

×

1

n

=1+

m

n

（當(dāng)m=1時(shí)取等號(hào)）．
又m≤n，∴(1+

1

n

)m≤(1+

1

n

)n=1+

C

1 n

×

1

n

+…+

C

n n

×

1

nn

＜1+1+

1

2!

+…+

1

n！

＜1+1+

1

2

+…+

1

2n-1

＜3
（Ⅲ）解：(1+

1

n

)n+1＞(1+

1

n+1

)n+2等價(jià)于（n+1）ln（1+

1

n

）＞（n+1+1）ln（1+

1

n+1

），
構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x+1）ln（1+

1

x

）（x≥1），則上式等價(jià)于證f*n）＞f（n+1）成立，所以f′(x)=ln(1+

1

x

)-

1

x

．
又令g（t）=ln（1+t）-t（t＞0），則g′（t）=

1

1+t

-1＜0當(dāng)t＞0時(shí)成立，即得g（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
于是g（t）＜g（0）=0成立，即ln（1+t）-t＜0，即ln（1+t）＜t（t＞0）成立，
故ln（1+

1

x

）＜

1

x

成立．
所以f′(x)=ln(1+

1

x

)-

1

x

＜0，由此知f（x）單調(diào)遞減，所以f（n）＞f（n+1），
所以(1+

1

n

)n+1＞(1+

1

n+1

)n+2，
所以（1+

1

an

）^m+1＞（1+

1

an+1

）^m+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，難度較大．