Question

已知函數(shù)g（x）=sin（2x+

2π

3

），將其圖象向左平移

π

4

個單位，再向上平移

1

2

個單位得到函數(shù)f（x）=acos²（x+

π

3

）+b的圖象．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）設函數(shù)φ（x）=g（x）-

3

f（x），求函數(shù)φ（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用函數(shù)g（x）=sin（2x+

2π

3

），將其圖象向左平移

π

4

個單位，再向上平移

1

2

個單位得到函數(shù)f（x）=acos²（x+

π

3

）+b的圖象．比較系數(shù)即可求實數(shù)a、b的值；
（2）求出函數(shù)φ（x）=g（x）-

3

f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求函數(shù)φ（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得：f(x)-

1

2

=

1

2

sin[2(x+

π

4

)+

2π

3

]…（2分）
即f(x)=-

1

2

sin(2x+

π

6

)+

1

2

…（4分）
又f(x)=acos2(x+

π

3

)+b=-

a

2

sin(2x+

π

6

)+

a

2

+b
比較得：a=1，b=0…（6分）
（Ⅱ）ϕ(x)=g(x)-

3

f(x)=

1

2

sin(2x+

2π

3

)-

3

2

cos(2x+

2π

3

)-

3

2

=sin(2x+

π

3

)-

3

2

…（9分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)⇒kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

(k∈Z)
∴φ（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

](k∈Z)…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查計算能力．