Question

17．已知：$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（sinx，cosx），x∈R，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）的周期、值域、單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到f（x）的表達(dá)式，再由輔助角公化積得答案；
（2）由周期公式求得周期，由函數(shù)解析式直接得到函數(shù)的值域，再由相位在正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)列式求得x的范圍得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（sinx，cosx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\sqrt{3}sinx-cosx$=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx）$=$2sin（x-\frac{π}{6}）$；
（2）函數(shù)f（x）=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的周期T=2π．
值域?yàn)閇-2，2]．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{2π}{3}+2kπ$，k∈Z．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{2π}{3}+2kπ≤x≤\frac{5π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[$-\frac{π}{3}+2kπ，\frac{2π}{3}+2kπ$]，k∈Z；
減區(qū)間為[$\frac{2π}{3}+2kπ，\frac{5π}{3}+2kπ$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，著重考查復(fù)合三角函數(shù)單調(diào)性的求法，是中檔題．