Question

已知直線x-2y+1=0與圓（a，b∈R）有交點，則a²+b²-2a+2b+1的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：設(shè) k=a²+b²-2a+2b+1，則 （a-1）²+（b+1）²=k+1，故k+1 表示圓心C（a，b）到點A（1，-1）的距離的平方，因此要求k的最小值，只需求滿足題目條件的點C（a，b）與
點A（1，-1）的最短距離AC，AC的最小值等于點A（1，-1）到直線x-2y+1=0的距離減去半徑，進而求出AC²的最小值，從而得到k的最小值．
解答：∵圓的圓心為C（a，b），半徑等于．
設(shè) k=a²+b²-2a+2b+1=（a-1）²+（b+1）²-1，則 （a-1）²+（b+1）²=k+1，
故k+1表示圓心C（a，b）到點A（1，-1）的距離的平方，因此要求k的最小值，只需求滿足題目條件的點C（a，b）與點A（1，-1）的最短距離AC．
故當(dāng)AC和直線x-2y+1=0垂直時，AC最短，此時，AC的最小值等于點A（1，-1）到直線x-2y+1=0的距離減去半徑，
即-=．
故k+1的最小值為=，
∴k 的最小值等于-1=．
故選B．
點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．