Question

如圖所示，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥ABCD，∠A₁AC=60°。

（1）證明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值；
（3）在直線CC₁上是否存在點P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出點P的位置；若不存在，試說明理由。

Answer 1

解：（1）連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC
∵平面A₁C₁C⊥平面ABCD，
∴A₁在平面ABCD內(nèi)的射影落在AC上，
∴AC為AA₁在平面ABCD內(nèi)的射影
∴BD⊥AA₁。
（2）作OK⊥AA₁于K，連接DK，則DK⊥AA₁，OD⊥OK
故∠DKO為二面角D-A₁A-C的平面角，
∵∠OAK=60°，
∴OK=
而，
∴ tan∠DKO=2，
∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是。
（3）存在，點P在C₁C的延長線上且CP=C₁C，證明如下：
延長C₁C到P使CP=C₁C，連接B₁C，BP，則BP∥B₁C
∴BP∥A₁D
又A₁D 平面DA₁C₁，BP平面DA₁C₁，
∴BP∥平面DA₁C₁。