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將一塊圓心角為半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形,如圖,有兩種裁法:讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上(圖1)或讓矩形一邊與弦AB平行(圖2)
(1)在圖1中,設矩形一邊PM的長為x,試把矩形PQRM的面積表示成關于x的函數;
(2)在圖2中,設∠AOM=θ,試把矩形PQRM的面積表示成關于θ的函數;
(3)已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為,那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形?說明理由.
【答案】分析:(1)求出PM,RM的值,利用面積公式可得結論;
(2)利用正弦定理求RM,OR,再利用面積公式可得結論;
(3)利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數求最值,即可得到結論.
解答:解:(1)PM=QR=x,在Rt△QRO中,OR=
在Rt△PMO中,OM=,∴RM=OM-OR=…(2分)
,…(3分)
(2)∠MRA=×=,∠MRO=,
在△OMR中,由正弦定理,得:=,即RM=2a•sinθ,…(6分)
=,∴OR=2a•sin(-θ),…(8分)
又正△ORQ中,QR=OR=2a•sin(-θ)
∴矩形的MPQR的面積為S=MR•PQ=4a2•sinθ•sin(-θ)  …(9分)
(3)對于(2)中的函數=…(11分)
,即時,…(13分)
,故按圖1的方案能得到最大面積的矩形.…(14分)
點評:本題考查函數模型的建立,考查正弦定理的運用,考查三角函數的化簡,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

將一塊圓心角為
π
3
半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形,如圖,有兩種裁法:讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上(圖1)或讓矩形一邊與弦AB平行(圖2)
(1)在圖1中,設矩形一邊PM的長為x,試把矩形PQRM的面積表示成關于x的函數;
(2)在圖2中,設∠AOM=θ,試把矩形PQRM的面積表示成關于θ的函數;
(3)已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為
3
6
a2
,那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形?說明理由.

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將一塊圓心角為120°,半徑為20cm的扇形鐵片裁成一塊矩形,如圖所示,有兩種裁法:讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上,或讓矩形一邊與弦AB平行,試問哪種裁法能得到矩形的面積最大,并求出這個最大值.

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科目:高中數學 來源: 題型:044

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將一塊圓心角為數學公式半徑為a的扇形鐵片截成一塊矩形,如圖,有兩種裁法:讓矩形一邊在扇形的一半徑OA上(圖1)或讓矩形一邊與弦AB平行(圖2)
(1)在圖1中,設矩形一邊PM的長為x,試把矩形PQRM的面積表示成關于x的函數;
(2)在圖2中,設∠AOM=θ,試把矩形PQRM的面積表示成關于θ的函數;
(3)已知按圖1的方案截得的矩形面積最大為數學公式,那么請問哪種裁法能得到最大面積的矩形?說明理由.

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