【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.
(1)證明:底面為菱形,,
底面,平面,
又,平面,
平面;
(2)解:,,為等邊三角形,
.
底面,是直線與平面所成的角為,
在中,由,解得.
如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸
建立空間直角坐標(biāo)系.
則,,,,.
,,,.
設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為,.
由,取,得;
由,取,得.
.
平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),().
(1)當(dāng)時(shí),求的表達(dá)式:
(2)求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式;
(3)當(dāng)時(shí),若關(guān)于x的方程(a,)恰有10個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線與曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在空間之間坐標(biāo)系中,四棱錐的底面在平面上,其中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,點(diǎn)在軸上,,,頂點(diǎn)在軸上,且,.
(1)求直線與平面所成角的大。
(2)設(shè)為的中點(diǎn),點(diǎn)在上,且,求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)設(shè),求證:存在唯一的,使得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線l與函數(shù)的圖象也相切;
(3)求證:對(duì)任意給定的正數(shù)a,總存在正數(shù)x,使得不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形,,為的中點(diǎn),以為折痕將折起到的位置,使得平面平面,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)X~N(1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,且P(X≥3)=0.0228,那么向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( )
(附:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)
A. 6038 B. 6587 C. 7028 D. 7539
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過隨機(jī)抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:
組別 | ||||||
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.
①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率;
②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保,針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng);其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表:
紅包金額(單位:元) | 10 | 20 |
概率 |
現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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