給出公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
我們可以根據(jù)公式將函數(shù)g(x)=sinx+
3
cosx
化為:g(x)=2(
1
2
sinx+
3
2
cosx)=2(sinxcos
π
3
+cosxsin
π
3
)=2sin(x+
π
3
)
的形式;
(1)根據(jù)你的理解,試將函數(shù)f(x)=sinx+cos(x-
π
6
)
化為f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式.
(2)求出(1)中函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間.
(3)求出(1)中的函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]
上的最大值和最小值以及相應(yīng)的x的值.
分析:(1)先利用兩角差的余弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式,仿照條件,即可推出結(jié)果.
(2)直接利用周期公式求出函數(shù)的周期,利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出所求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.
(3)利用(1)的結(jié)果,根據(jù)x的范圍,求出x+
π
6
的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可.
解答:解:(1)f(x)=sinx+cos(x-
π
6
)
=sinx+cosxcos
π
6
+sinxsin
π
6
=
3
2
sinx+
3
2
cosx
=
3
(
3
2
sinx+
1
2
cosx)=
3
sin(x+
π
6
)
…(4分)
(2)最小正周期T=
1
=2π
,…(5分)
減區(qū)間:2kπ+
π
2
≤x+
π
6
≤2kπ+
2
,k∈Z解得2kπ+
π
3
≤x≤2kπ+
3
,k∈Z
所以單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+
π
3
,2kπ+
3
](k∈Z)
…(7分)
(3)∵0≤x≤
π
2
,∴
π
6
≤x+
π
6
3
,…(9分)
當(dāng)x+
π
6
=
π
6
,即x=0
時(shí),函數(shù)有最小值
3
2

當(dāng)x+
π
6
=
π
2
,即x=
π
3
時(shí),函數(shù)有最大值
3
…(13分)
點(diǎn)評:本題考查三角函數(shù)的化簡求值,利用題設(shè)解答,注意三角函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值的求法,考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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給出公式:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;我們可以根據(jù)公式將函數(shù)g(x)=sinx+
3
cosx化為:g(x)=2(
1
2
sinx+
3
2
cosx)=2(sinxcos
π
3
+cosxsin
π
3
)=2sin(x+
π
3

(1)根據(jù)你的理解將函數(shù)f(x)=sinx+cos(x-
π
6
)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.
(2)求出上題函數(shù)f(x)的最小正周期、對稱中心及單調(diào)遞增區(qū)間.

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cosx
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1
2
sinx+
3
2
cosx)=2(sinxcos
π
3
+cosxsin
π
3
)=2sin(x+
π
3
)
的形式;
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π
6
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化為f(x)=Asin(ωx+φ)或f(x)=Acos(ωx+φ)的形式.
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π
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