Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax+1-lnx．
（I）若函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
（II）試討論函數(shù)f（x）是否既有極大值又有極小值？若有，求出a的取值范圍；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，

1

2

)上是減函數(shù)，等價于函數(shù)在此區(qū)間上恒成立，對于恒成立往往是把字母變量放在一邊，另一邊轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在定義域下的最值，即可
（II）由函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)為：f′(x)=

-2x2+ax-1

x

，接著針對字母a的取值范圍求該函數(shù)在定義域下的極值即可．

解答：解：（I）由f（x）=-x²+ax+1-lnx得f′(x)=-2x+a-

1

x

，
∵f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上是減函數(shù)，∴當(dāng)x∈(0，

1

2

)時，f′(x)=-2x+a-

1

x

＜0恒成立，
即a＜2x+

1

x

恒成立，令g（x）=2x+

1

x

，則g^′（x）=2-

1

x2

∵x∈(0，

1

2

)時，

1

x2

＞4，∴g^′（x）=2-

1

x2

＜0
∴g（x）=2x+

1

x

在區(qū)間(0，

1

2

)上是減函數(shù)，
∴g(x)＞g(

1

2

)=3，∴a≤3．

（II）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f（x）得到：f^′（x）=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

=0，得-2x²+ax-1=0，△=a²-8
①當(dāng)-2

2

＜a＜2

2

時，△=a2-8＜0，-2x²+ax-1＜0恒成立，所以f^′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）不存在極值；
②當(dāng)a=±2

2

時，-2x2+ax-1≤0，∴f^′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）不存在極值；
③當(dāng)a＜-2

2

時，由f′（x）=0得：x₁=

a- a2-8

4

，x2=

a+ a2-8

4

∵x₁＜0∉（0，+∞）∴f（x）在（0，+∞）不可能存在兩個極值點；
④當(dāng)a＞2

2

時，由f′（x）=0得：x₁=

a- a2-8

4

，x2=

a+ a2-8

4

    此時，x₂＞x₁＞0，f^′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

由表可以知道，f（x₁）是f（x）的極小值，f（x₂）是f（x）的極大值；綜上：當(dāng)a≤-2

2

時，f（x）不可能即有極大值又有極小值；
當(dāng)a＞2

2

時，f（x）即有極大值f（x₂），又有極小值f（x₁）．

點評：此題考查了求導(dǎo)函數(shù)，此題考查了恒成立問題，還考查了求函數(shù)的極值及解題時等價轉(zhuǎn)化的思想．