Question

7．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并證明；
（3）若f（x-1）+f（x）＜0，求x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，f（x）為奇函數(shù)且在原點有定義，從而有f（0）=0，這樣便可解出a的值；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性便可判斷f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義：設任意的x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，通分，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域便可得出f（x₁）＜f（x₂），這樣便得出f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）根f（x）為奇函數(shù)便可由f（x-1）+f（x）＜0得到f（x-1）＜f（-x），再由f（x）在定義域（-1，1）上為增函數(shù)便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜-x＜1}\\{x-1＜-x}\end{array}\right.$，從而解該不等式組即可得出x的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得$f（0）=a-\frac{1}{{{2^0}+1}}=0，解得a=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，函數(shù)f （x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)；
證明如下：
設-1＜x₁＜x₂＜1，則：
f （x₁）-f （x₂）
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）$
=$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）f（x-1）+f（x）＜0?f（x-1）＜-f（x）
因為f（x）為奇函數(shù)，所以-f（x）=f（-x）；
則不等式可變形為f（x-1）＜f（-x），因為f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)；
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x-1＜1}\\{-1＜x＜1}\\{x-1＜-x}\end{array}\right.$；
解得$0＜x＜\frac{1}{2}$；
∴x的取值集合為$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時，滿足f（0）=0，反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，增函數(shù)的定義，以及利用增函數(shù)定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程．