分析 (1)根據(jù)題意,f(x)為奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義,從而有f(0)=0,這樣便可解出a的值;
(2)根據(jù)反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性便可判斷f(x)在(-1,1)上為增函數(shù),根據(jù)增函數(shù)的定義:設(shè)任意的x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,然后作差,通分,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域便可得出f(x1)<f(x2),這樣便得出f(x)在(-1,1)上為增函數(shù);
(3)根f(x)為奇函數(shù)便可由f(x-1)+f(x)<0得到f(x-1)<f(-x),再由f(x)在定義域(-1,1)上為增函數(shù)便可得到{−1<x−1<1−1<−x<1x−1<−x,從而解該不等式組即可得出x的取值范圍.
解答 解:(1)由題意得f(0)=a−120+1=0,解得a=12;
(2)由(1)可知f(x)=12−12x+1,函數(shù)f (x)在區(qū)間(-1,1)上為增函數(shù);
證明如下:
設(shè)-1<x1<x2<1,則:
f (x1)-f (x2)
=(12−12x1+1)−(12−12x2+1)
=12x2+1−12x1+1
=2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1);
∵-1<x1<x2<1;
∴2x1−2x2<0,2x1+1>0,2x2+1>0;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(-1,1)上為增函數(shù);
(3)f(x-1)+f(x)<0?f(x-1)<-f(x)
因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以-f(x)=f(-x);
則不等式可變形為f(x-1)<f(-x),因?yàn)閒(x)在(-1,1)上為增函數(shù);
所以{−1<x−1<1−1<x<1x−1<−x;
解得0<x<12;
∴x的取值集合為(0,12).
點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義,奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義時(shí),滿足f(0)=0,反比例函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷,增函數(shù)的定義,以及利用增函數(shù)定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程.
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A. | 2√10 | B. | √10 | C. | √103 | D. | √102 |
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