Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），它的兩個短軸端點與右焦點構(gòu)成等邊三角形，點A在橢圓C上運動，點B在直線l：y=m（m＞0）上，且∠AOB=90°（其中O為原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若點O到直線AB的距離為定值，求m的值及|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，c=$\sqrt{3}$b，與a²=b²+c²聯(lián)立，解出即可得出；
（II）取A（2，0），則B（0，m），m＞0，此時原點到直線AB的距離d=$\frac{2m}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$．取A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），同理可得：此時原點到直線AB的距離d=$\frac{\sqrt{13}m}{2\sqrt{3+{m}^{2}}}$．利用$\frac{2m}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}m}{2\sqrt{3+{m}^{2}}}$，m＞0，解得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．可得直線l的方程．設(shè)B（t，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），A（2cosθ，sinθ）．θ=0時，可得|AB|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．θ≠0，$\frac{π}{2}$時，設(shè)直線AO的方程為：y=$\frac{1}{2}$xtanθ，則OB的方程為：y=-$\frac{2}{tanθ}$x，可得：B（$-\frac{\sqrt{3}}{3}tanθ$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．利用兩點之間的距離公式可得|AB|，利用三角函數(shù)求值、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}$=1，c=$\sqrt{3}$b，與a²=b²+c²聯(lián)立，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）取A（2，0），則B（0，m），m＞0，此時原點到直線AB的距離d=$\frac{2m}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$．
取A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），直線OB的方程為：y=-2$\sqrt{3}$x，則B（$-\frac{m}{2\sqrt{3}}$，m），此時原點到直線AB的距離d=$\frac{\sqrt{3+\frac{1}{4}}×\sqrt{\frac{{m}^{2}}{12}+{m}^{2}}}{\sqrt{3+\frac{1}{4}+\frac{{m}^{2}}{12}+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}m}{2\sqrt{3+{m}^{2}}}$．
∴d=$\frac{2m}{\sqrt{4+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}m}{2\sqrt{3+{m}^{2}}}$，m＞0，解得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴直線l的方程為：y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)B（t，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），A（2cosθ，sinθ），
θ=0時，|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{m}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
θ≠0，$\frac{π}{2}$時，設(shè)直線AO的方程為：y=$\frac{1}{2}$xtanθ，則OB的方程為：y=-$\frac{2}{tanθ}$x，可得：B（$-\frac{\sqrt{3}}{3}tanθ$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∴|AB|=$\sqrt{（2cosθ+\frac{\sqrt{3}}{3}tanθ）^{2}+（sinθ-\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{3co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}ta{n}^{2}θ+\frac{7}{3}}$=$\sqrt{3co{s}^{2}θ+\frac{1-co{s}^{2}θ}{3co{s}^{2}θ}+\frac{7}{3}}$，
令cos²θ=t∈（0，1），則|AB|=$\sqrt{3t+\frac{1}{3t}+2}$≥$\sqrt{2\sqrt{3t•\frac{1}{3t}}+2}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{3}$時取等號．
∴|AB|的最小值為2．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、點到直線的距離公式、三角函數(shù)求值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．