Question

已知橢圓的左右焦點為F₁，F(xiàn)₂，拋物線C：y²=2px以F₂為焦點且與橢圓相交于點M，直線F₁M與拋物線C相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點M的坐標；
（Ⅱ）過F₂作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE，設弦AB、DE的中點分別為F、N，求證直線FN恒過定點．

Answer 1

解：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距c=，（1分）
所以橢圓焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），（2分）
又拋物線C的焦點為，∴，∴C：y²=4x，（3分）
設M（x₁，y₁），則y₁²=4x₁，直線F₁M的方程為，（4分）
代入拋物線C得y₁²（x+1）²=4x（x₁+1）²，即4x₁（x+1）²=4x（x₁+1）²，
∴x₁x²-（x₁²+1）x+x₁=0，∴F₁M與拋物線C相切，
∴△=（x₁²+1）²-4x₁²=0，∴x₁=1，M（1，±2），（7分）
（Ⅱ）設AB的方程為x=ty+1，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0，（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，（9分）
x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，，（10分）
所以F（2t²+1，2t），將t換成-得N（），（12分）
由兩點式得FN的方程為，（13分）
當y=0時x=3，所以直線FN恒過定點（3，0）．（13分）
分析：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距c=，橢圓焦點為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），拋物線C的焦點為，故，由此能求出拋物線C的方程和點M的坐標．
（Ⅱ）設AB的方程為x=ty+1，代入y²=4x，得y²-4ty-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理和兩點式方程能導出直線FN恒過定點（3，0）．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意拋物線性質(zhì)的靈活運用和韋達定理的合理運用．