Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且橢圓C與圓M：x²+（y-3）²=4的公共弦長為4
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知O為坐標原點，過橢圓C的右頂點A作直線l與圓x²+y²=$\frac{8}{5}$相切并交橢圓C于另一點，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和對稱性可得橢圓經過點（±2，3），代入橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設過右頂點A（4，0）的直線l為y=k（x-4），由直線和圓相切的條件：d=r，可得k，再由直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理，可得B的橫坐標，結合向量的數量積的坐標表示，即可得到所求值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
橢圓C與圓M：x²+（y-3）²=4的公共弦長為4，
可得橢圓經過點（±2，3），
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{^{2}}$=1，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）設過右頂點A（4，0）的直線l為y=k（x-4），
由直線與圓x²+y²=$\frac{8}{5}$相切，可得$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$，
解得k=±$\frac{1}{3}$，
將直線y=±$\frac{1}{3}$（x-4），代入橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，消去y，可得
31x²-32x-368=0，
設B（x₀，y₀），可得4x₀=-$\frac{368}{31}$，
則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（4，0）•（x₀，y₀）=4x₀=-$\frac{368}{31}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查向量的數量積的坐標表示，同時考查直線和圓相切的條件：d=r，直線方程和橢圓方程聯立，考查運算能力，屬于中檔題．