Question

已知f（a）=

sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α-π)

sin(-π-α)

（Ⅰ）化簡(jiǎn)f（a）；
（Ⅱ）若α是第三象限角，且cos（α-

3

2

π）=

1

5

，求f（a）的值；
（Ⅲ）求f（

π

3

）+f（

2π

3

）+f（

3π

3

）+…+f（

2013π

3

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由條件利用誘導(dǎo)公式求得f（a）的值．
（Ⅱ）由α是第三象限角，且cos（α-

3

2

π）=

1

5

，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得f（a）的值．
（Ⅲ）利用f（x）的周期性求得f（

π

3

）+f（

2π

3

）+f（

3π

3

）+…+f（

2013π

3

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式可得f(α)=

sinα•cosα• sin( 3π 2 -α) cos( 3π 2 -α) • sin(-α-π) cos(-α-π)

sin(-α-π)

=sinα•cosα•

-cosα

-sinα•(-cosα)

=-cosα．
（Ⅱ）∵

1

5

=cos(α-

3π

2

)=-sinα，且α是第三象限的角∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 6

5

，
所以f(α)=

2 6

5

．
（Ⅲ）因?yàn)?span id="uehqo9e" class="MathJye">f(

π

3

)+f(

2π

3

)+…+f(

6π

3

)=0，且cos（2kπ+α）=cosα，
所以f(

π

3

)+f(

2π

3

)+…+f(

2013π

3

)=f(

π

3

)+f(

2π

3

)+f(

3π

3

)=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，利用函數(shù)的周期性奇函數(shù)的值，屬于中檔題．