【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線分別與線段和直線交于點.

(1) 若，求的值；

(2) 若，為線段的中點，求證: 直線與該拋物線有且僅有一個公共點.

(3) 若，直線的斜率存在，且與該拋物線有且僅有一個公共點，試問是否一定為線段的中點? 說明理由.

【答案】(1) ；(2) 證明見解析；(3)是，理由見解析.

【解析】

（1）設，，，則，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去后利用韋達定理可得關于的方程，從而可求的值.

（2）設，用表示直線的方程，聯(lián)立該直線的方程和拋物線的方程后可得該方程組有且只有一組解，故直線與拋物線相切.

（3）設，利用（2）的結(jié)果可得切線的方程，求出的坐標和直線的方程后，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，消去后利用韋達定理可求中點的橫坐標，可證它就是的橫坐標，從而一定為線段的中點.

（1） 設，，

由得，故，從而.

又，故，解得或，

舍去負值，得.

（2）由（1）得，，故，故.

設在上，且滿足，又，

故直線的方程為，

而.

故，

由得，故方程組有唯一解，

故直線與該拋物線有且僅有一個公共點.

（3）設，這里，

由（2）知過與有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為.

令得，故，

又 ，所以.

由 ，故

這樣是的中點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將數(shù)列中的所有項按第一行排3項，以下每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：

……

記表中的第一列數(shù)，，，…，構(gòu)成數(shù)列.

（1）設，求m的值；

（2）若，對于任何，都有，且.求數(shù)列的通項公式.

（3）對于（2）中的數(shù)列，若上表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為q（）的等比數(shù)列，且，求上表中第k（）行所有項的和.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝2x－，x∈(0，1]．

(1)當a＝－1時，求函數(shù)y＝f(x)的值域；

(2)若函數(shù)y＝f(x)在x∈(0，1]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】班主任為了對本班學生的考試成績進行分析，決定從本班24名女同學，18名男同學中隨機抽取一個容量為7的樣本進行分析.

（1）如果按照性別比例分層抽樣，可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可，不必計算出結(jié)果）

（2）如果隨機抽取的7名同學的數(shù)學，物理成績（單位：分）對應如下表：

學生序號

1

2

3

4

5

6

7

數(shù)學成績

60

65

70

75

85

87

90

物理成績

70

77

80

85

90

86

93

①若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，從這7名同學中抽取3名同學，記3名同學中數(shù)學和物理成績均為優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；

②根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求物理成績關于數(shù)學成績的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；若班上某位同學的數(shù)學成績?yōu)?6分，預測該同學的物理成績?yōu)槎嗌俜郑?/span>

附：線性回歸方程，

其中，.

76

83

812

526

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在一個給定的正邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個點構(gòu)成的三角形內(nèi)部的概率為______．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義符號函數(shù)，已知，.

（1）求關于的表達式，并求的最小值.

（2）當時，函數(shù)在上有唯一零點，求的取值范圍.

（3）已知存在，使得對任意的恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱錐中，，，.

（1）求證：；

（2）若二面角的大小為且時，求的中線與面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

附：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于項數(shù)為m（且）的有窮正整數(shù)數(shù)列，記，即為中的最小值，設由組成的數(shù)列稱為的“新型數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數(shù)列”的所有項；

（2）若數(shù)列滿足，且其對應的“新型數(shù)列”項數(shù)，求的所有項的和；

（3）若數(shù)列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求符合條件的及其對應的“新型數(shù)列”.

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