Question

17．已知函數(shù)f（x）=x+sin2x．給出以下四個(gè)命題：
①?x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；
②?k∈R，使方程f（x）=k有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③函數(shù)f（x）的圖象存在無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心；
④若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，則a₂=π．
其中的正確命題有③④．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①用特殊值的方法即可；
②③根據(jù)函數(shù)圖象判斷；
④可用反代的方法判斷成立．

解答 解：①當(dāng)x=$\frac{π}{6}$時(shí)，顯然f（x）＞2x，故錯(cuò)誤；
②根據(jù)函的圖象易知，方程f（x）=k最多有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤；
③根據(jù)函數(shù)的圖象易知函數(shù)f（x）的圖象存在無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，故正確；
④f（a_l）+f（a₂）+f（a₃）=3π，
∴a_l+a₂+a₃=3π，sina_l+sina₂+sina₃=0，解得a₂=π，故正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)的圖象和對(duì)函數(shù)的理解．