Question

【題目】已知函數(shù) ，且 .
（Ⅰ）設(shè) ，求 的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）證明：函數(shù) 的圖象在函數(shù) 的圖象的上方.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：由 ，所以 ，解得 ，
又 得 ，所以 ，
于是 ，則 ，由 ，
故答案為： 的遞增區(qū)間 ，遞減區(qū)間 ，
當(dāng) 時(shí)， ．
（Ⅱ）證明：“函數(shù) 的圖象在函數(shù) 的圖象的上方”等價(jià)于“ ”，即要證： ，又 ，
所以只要證 ．
由（Ⅰ）得 ，即 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立），
所以只要證明當(dāng) 時(shí)， 即可．
設(shè) = ，
所以 ，令 ，解得 ，
由 得 ，所以 在 上為增函數(shù)，
所以 =0，即 ，
所以 ，故函數(shù) 的圖象在函數(shù) 的圖象的上方.
【解析】（1）利用已知條件得到關(guān)于a,b的方程組，求a,b。再用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.
（2）先找到直線在函數(shù)的圖象上方，轉(zhuǎn)化為證明不等式成立，用分析法得到等價(jià)的不等式，再轉(zhuǎn)化為構(gòu)造的函數(shù)h(x)的最小值大于0即可.