Question

過點(diǎn)P（-4，2）的直線l與圓x²+y²=25交于A、B兩點(diǎn)，（1）如果線段AB恰以P為中點(diǎn)，求直線l的方程；（2）如果|AB|=6，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意可得直線l⊥OP，而OP的斜率等于

2-0

-4-0

，由此求得直線l的斜率，用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，并化為一般式．
（2）如果|AB|=6，由于圓的半徑等于5，故圓心到直線的距離等于4，分直線l的斜率不存在、直線l的斜率存在兩種情況，分別求出直線l的方程．

解答：解：（1）如果線段AB恰以P為中點(diǎn)，則直線l⊥OP，而OP的斜率等于

2-0

-4-0

=-

1

2

，故直線l的斜率等于2，
由點(diǎn)斜式求得直線l的方程為 y-2=2（x+4），即 2x-y+10=0．
（2）如果|AB|=6，由于圓的半徑等于5，故圓心到直線的距離等于4．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為 x=-4．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為 y-2=k（x+4），即 kx-y+4k+2=0，
由圓心到直線的距離 4=

|0-0+4k+2|

1+k2

，解得 k=

3

4

．
此時(shí)，直線l的方程為

3

4

x-y+5=0，即 3x-4y+20=0．
綜上可得，直線l的方程為  x=-4 或 3x-4y+20=0．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．