Question

1．如果橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（0，-1）和F₂（0，1），P是橢圓上的一點(diǎn)，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列，那么橢圓的方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞b＞0），由于|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列，及P是橢圓上的一點(diǎn)，可得2|F₁F₂|=|PF₂|+|PF₁|=4=2a，即可得到a，又c=1，再利用b²=a²-c²即可．

解答 解：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等差數(shù)列，P是橢圓上的一點(diǎn)，
∴2|F₁F₂|=|PF₂|+|PF₁|=4=2a，
解得a=2，又c=1，
∴b²=a²-c²=3．
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案選：D．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義、性質(zhì)、等差數(shù)列的意義，屬于基礎(chǔ)題．