分析 由(x-y)2≥0,可得$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$,再由均值不等式,結(jié)合不等式的傳遞性即可得證.
解答 證明:因?yàn)閤,y>0,且(x-y)2≥0,
(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)
即有2(x2+y2)-(x+y)2≥0,
所以$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\frac{x+y}{2}$,①
又$\frac{x+y}{2}≥\sqrt{xy}$,(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)②
由①②得$\frac{{{x^2}+{y^2}}}{x+y}≥\sqrt{xy}$(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)“=”成立).
點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明,注意運(yùn)用均值不等式和不等式的傳遞性,考查推理能力,屬于中檔題.
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A. | 4 | B. | 2 | C. | 1 | D. | $\frac{1}{2}$ |
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A. | x+y+2=0 | B. | x-y+2=0 | C. | x+y-2=0 | D. | x-y-2=0 |
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