Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求證：對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4；
（3）若過點A（1，m）（m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的范圍．

Answer 1

分析：（1）解析式中有兩個參數，故需要得到兩個方程求參數，由于函數f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值，由極值存在的條件恰好可以得到兩個關于參數的兩個方程，由此解析式易求．
（2）欲證對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，可以求出函數在區(qū)間[-1，1]上的最值，若最大值減去最小值的差小于等于4，則問題得到證明，故問題轉化為研究函數在區(qū)間[-1，1]上的單調性求最值的問題．
（3）由于點A（1，m）（m≠-2），驗證知此點不在函數圖象上，可設出切點坐標M（x₀，y₀），然后用兩種方式表示出斜率，建立關于切點橫坐標的方程2x₀³-3x₀²+m+3=0，再借助函數的單調性與極值確定其有三個解的條件即可．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f′（1）=f′（-1）=0，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x
（2）∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
當-1＜x＜1時，f′（x）＜0，故f（x）在區(qū)間[-1，1]上為減函數，
f_max（x）=f（-1）=2，f_min（x）=f（1）=-2
∵對于區(qū)間[-1，1]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|
|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=2-（-2）=4
（3）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲線方程為y=x³-3x，∴點A（1，m）不在曲線上．
設切點為M（x₀，y₀），切線的斜率為3(

x

2 0

-1)=

x 3 0 -3 x   0 -m

x   0 -1

（左邊用導數求出，右邊用斜率的兩點式求出），
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．
∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，故此方程有三個不同解，下研究方程解有三個時參數所滿足的條件
設g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，則g′（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．
∴g（x₀）在（-∞，0），（1，+∞）上單調遞增，在（0，1）上單調遞減．
∴函數g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的極值點為x₀=0，x₀=1
∴關于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三個實根的充要條件是

g(0)＞0 g(1)＜0

，解得-3＜m＜-2．
故所求的實數a的取值范圍是-3＜m＜-2．

點評：本題考點是利用導數研究函數的單調性，考查了函數極值存在的條件，利用導數求函數最值的方法以及導數研究函數在某點切線的問題，本題涉及到了求導公式，求最值的方法，導數的幾何意義等，綜合性強，難度較大，解題時注意體會．