Question

9．如圖，已知A、B是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，四邊形ABCD為矩形，且AD=2b，H、G分別在線段DC、BC上，BH與AG相交于Q，且$\overrightarrow{BG}=λ\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{CH}=μ\overrightarrow{CD}$．
（1）若AB=8，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
①求橢圓的方程；
②若$λ=\frac{3}{4}$，且Q點(diǎn)在AB為直徑的圓上，求μ的值；
（2）若λ=μ，試判斷點(diǎn)Q是否在橢圓上，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由題意可得a=4，運(yùn)用菱形公式可得b=c=2$\sqrt{2}$，進(jìn)而得到橢圓方程；
②Q點(diǎn)在AB為直徑的圓上，可得∠AQB=90°，即有tan∠GAB•tan∠BHC=1，運(yùn)用直角三角形中正切函數(shù)的定義，解方程即可得到所求值；
（2）求得G（a，2λb），CH=2aλ，可得H（a-2aλ，2b），又A（-a，0），B（a，0），求得AG和BH的方程，解得Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可判斷在橢圓上．

解答 解：（1）①由題意可得2a=8，即a=4，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c=2$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
②Q點(diǎn)在AB為直徑的圓上，可得∠AQB=90°，
即有tan∠GAB•tan∠BHC=1，
即有$\frac{BG}{AB}$•$\frac{BC}{CH}$=1，即$\frac{\frac{3}{4}•4\sqrt{2}}{8}$•$\frac{4\sqrt{2}}{8μ}$=1，
解得μ=$\frac{3}{8}$；
（2）λ=μ，即有G（a，2λb），
CH=2aλ，可得H（a-2aλ，2b），
又A（-a，0），B（a，0），
可得直線AG的方程為y=$\frac{λb}{a}$（x+a），
BH的方程為y=-$\frac{λa}$（x-a），
解方程組可得Q（$\frac{a（1-{λ}^{2}）}{1+{λ}^{2}}$，$\frac{2bλ}{1+{λ}^{2}}$），
代入橢圓方程的左邊可得：
$\frac{（1-{λ}^{2}）^{2}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$+$\frac{4{λ}^{2}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$=$\frac{1+2{λ}^{2}+{λ}^{4}}{（1+{λ}^{2}）^{2}}$=1．
即有Q在橢圓上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查向量共線的坐標(biāo)表示和共線定理，同時(shí)考查直線的交點(diǎn)的求法，以及點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．