Question

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；

（2）求證：BD∥平面EFGH；

（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有=（+++）.

 

Answer 1

【答案】

證明 見(jiàn)解析。

【解析】   

試題分析：證明  （1）連接BG，則

=+

=+（+）

= ++=+，

由共面向量定理的推論知：

E、F、G、H四點(diǎn)共面.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013031121402743533957/SYS201303112141064978845752_DA.files/image009.png">=-  

=-=（-）=，

所以EH∥BD.

又EH平面EFGH，

BD平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

（3）連接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

由（2）知=，

同理=，

所以=，即EH   FG，

所以四邊形EFGH是平行四邊形.

所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分.

故=（+）=+

=[（+）]+[（+）]

=（+++）. 

考點(diǎn)：本題主要考查共線向量與共面向量，向量的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：用向量語(yǔ)言表述線面的垂直、平行關(guān)系，考查運(yùn)算能力，是中檔題。