Question

4．（1）已知a，b，c，d都是正數，求證：（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd；
（2）已知x＞0，y＞0，2x+y=1，求證：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）分別由基本不等式可得ab+cd≥2$\sqrt{abcd}$，ac+bd≥2$\sqrt{abcd}$，兩式相乘可得；
（2）整體代入可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+y）=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 證明：（1）∵a，b，c，d都是正數，
∴由基本不等式可得ab+cd≥2$\sqrt{abcd}$，ac+bd≥2$\sqrt{abcd}$，
兩式相乘可得（ab+cd）（ac+bd）≥2$\sqrt{abcd}$•2$\sqrt{abcd}$=4abcd，
故原命題得證；
（2）∵x＞0，y＞0，2x+y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2x+y）=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{2}$，
當且僅當$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$時取等號．

點評 本題考查基本不等式證明不等式，整體代入是解決問題的關鍵，屬基礎題．