Question

【題目】如圖，在Rt中， ，點、分別在線段、上，且，將沿折起到的位置，使得二面角的大小為.

（1）求證：；

（2）當(dāng)點為線段的靠近點的三等分點時，求與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得 ，,翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有,平面 ，從而得； (2) 二面角的平面角，由余弦定理得,由勾股定理可得,兩兩垂直，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量與的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

試題解析：（1）

,翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有,

.

(2) , 二面角的平面角，

，又,由余弦定理得,

,,兩兩垂直.

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖直角坐標(biāo)系.

則

設(shè)平面的法向量

由可得

.

故PC與平面PEF所成的角的正弦值為 .

【方法點晴】本題主要考查利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.