8.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b2-a2=ac.
(Ⅰ) 若$cosB=\frac{1}{4}$,a=1,求△ABC的面積;
(Ⅱ)若$A=\frac{π}{6}$,求B.

分析 (Ⅰ) 由已知及余弦定理可得c-2acosB=a,結(jié)合已知可求c的值,利用三角形面積公式即可得解.
(Ⅱ) 由c-2acosB=a及正弦定理,結(jié)合已知,利用特殊角的三角函數(shù)值可得$sin(B-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,由于0<B<π,即可解得B的值.

解答 (本題滿(mǎn)分為15分)
解:(Ⅰ) 由b2-a2=ac及b2=a2+c2-2accosB得:c2-2accosB=ac
即:c-2acosB=a
又$cosB=\frac{1}{4}$,a=1,
解得:$c=\frac{3}{2}$,
所以△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{15}}}{16}$; …(7分)
(Ⅱ) 由c-2acosB=a及$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$,得sinC-2sinAcosB=sinA,
又$A=\frac{π}{6}$,
∴$sin(\frac{π}{6}+B)-cosB=\frac{1}{2}$,可得:$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB-\frac{1}{2}cosB=\frac{1}{2}$,即:$sin(B-\frac{π}{6})=\frac{1}{2}$,
∵0<B<π,
∴$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}⇒B=\frac{π}{3}$.…(15分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式,特殊角的三角函數(shù)值,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.

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