Question

13．若圓C₁：x²+y²=m與圓C₂：x²+y²-6x-8y+16=0相外切．
（1）求m的值；
（2）若圓C₁與x軸的正半軸交于點A，與y軸的正半軸交于點B，P為第三象限內一點且在圓C₁上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）利用圓C₁：x²+y²=m與圓C₂：x²+y²-6x-8y+16=0相外切，求m的值；
（2）設P（x₀，y₀），求出四邊形ABNM的面積，P點在圓C₁上，有x₀²+y₀²=4，即可證明結論．

解答 解：（1）圓C₁的圓心坐標（0，0），半徑為$\sqrt{m}$，
圓C₂的圓心坐標（3，4），半徑為3，
又兩圓外切得$\sqrt{m}$+3=5，∴m=4．
（2）證明：點A坐標為（2，0），點B坐標為（0，2），
設P點坐標為（x₀，y₀），
由題意得點M的坐標為（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）；點N的坐標為（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0），
四邊形ABNM的面積S=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$）（2-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）=$\frac{1}{2}•\frac{（4-2{y}_{0}-2{x}_{0}）^{2}}{（2-{y}_{0}）（2-{x}_{0}）}$，
由P點在圓C₁上，有x₀²+y₀²=4，
∴四邊形ABNM的面積S=4，
即四邊形ABNM的面積為定值4．

點評 本題考查圓的標準方程，考查了圓與圓的位置關系，考查計算能力與推理論證能力，是中檔題．