已知f(x)=3cos2ωx+
3
sinωxcosωx+a(ω＞0)，且函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2

（1）求ω的值，
（2）若當(dāng)x∈[
π
6
，
5π
12
]時，f（x）的最小值為2，求a的值，
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的遞減區(qū)間．
分析：（1）通過二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，通過函數(shù)的周期求出ω的值，
（2）通過x∈[
π
6
，
5π
12
]，求出相位的范圍，利用f（x）的最小值為2，即可求a的值，
（3）通過函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的遞減區(qū)間．
解答：解：（1）f(x)=3cos2ωx+
3
sinωxcosωx+a
=
1
2
（3+3cos2ωx）+
3
2
sin2ωx+a
=
3
sin（2ωx+
π
3
）+a+
3
2
，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
，
所以函數(shù)的周期為：π．
所以ω=
2π
2π
=1，ω的值為1．
（2）因?yàn)?span id="wdorjmt" class="MathJye">x∈[
π
6
，
5π
12
]，所以2x+
π
3
∈[
2π
3
，
7π
6
]，
∵f（x）的最小值為2，
∴-
3
2
+a+
3
2
=2，∴a=
1
2
+
3
2
．
（3）由（1）可知函數(shù)f（x）=
3
sin（2x+
π
3
）+a+
3
2
，
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z，解得kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
，
所以在區(qū)間[0，
π
2
]上的遞減區(qū)間為：[
π
12
，
π
2
]．
點(diǎn)評：本題考查二倍角公式的應(yīng)用，兩角和的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=3sinωxcosωx-
3
cos2ωx+2sin2(ωx-
π
12
)+
3
2
（其中ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知a=1，b=
2
，f(A)=1，求角C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
=(
3
cos2ωx，sinωx)，
b
=(1，cosωx)（其中ω＞0），已知f(x)=
a
•
b
-
3
2
且f（x）最小正周期為2π
（1）求ω的值及y=f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)a∈(
π
6
，
2π
3
)，β∈(-
5π
6
，-
π
3
)，f(α)=
3
5
，f(β)=-
4
5
求cos（α-β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）已知f(x)=3sinωxcosωx-
3
cos2ωx+2sin2(ωx-
π
12
)+
3
12
(ω＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）值域；（2）若f（x）周期為π，求ω并寫出該函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•湖北模擬）已知f(x)=3sinωxcosωx-
3
cos2ωx+2sin2(ωx-
π
12
)+
3
12
(ω＞0)．
（1）求函數(shù)f（x）值域；
（2）若對任意的a∈R，函數(shù)y=f（x）在（a，a+π]上的圖象與y=1有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，試確定ω的值（不必證明）并寫出該函數(shù)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間．

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