已知拋物線C:x2=2my(m>0)和直線l:y=kx-m沒有公共點(其中k、m為常數(shù)),動點P是直線l上的任意一點,過P點引拋物線C的兩條切線,切點分別為M、N,且直線MN恒過點Q(k,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知O點為原點,連接PQ交拋物線C于A、B兩點,證明:S△OAP•S△OBQ=S△OAQ•S△OBP.
分析:(1)對C的函數(shù)求導數(shù),設出兩個切點的坐標,求出導函數(shù)在切點處的導數(shù)值即切線的斜率,利用點斜式寫出切線
PM,PN 的方程,將P的坐標代入得到MN的方程,據(jù)直線的點斜式判斷出MN過的定點,據(jù)已知求出拋物線C的方程.
(2)通過分析法將要證的三角形的面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為交點的坐標問題,設出直線PQ的方程,將直線方程與橢圓方程 聯(lián)立,利用韋達定理得證.
解答:解:(1)如圖,設M(x
1,y
1),N(x
2,y
2)
由
y=,得
y′=∴PM的斜率為
PM的方程為
y=x-y1同理得
PN:y=x-y2設P(x
0,y
0)代入上式得
,
即(x
1,y
1),(x
2,y
2)滿足方程
y0=x0-y 故MN的方程為
y=x-y0=x-(kx0-m)上式可化為
y-m=(x-mk),過交點(mk,m)
∵MN過交點Q(k,1),
∴mk=k,m=1
∴C的方程為x
2=2y
(2)要證S
△OAP•S
△OBQ=S
△OAQ•S
△OBP,
即證
=設A(x
3,y
3),B(x
4,y
4)
則
-=-=2x3x4-(k+x0)(x3+x4)+2kx0 |
(x4-x0)(x4-k) |
…(Ⅰ)
∵P(x
0,y
0),Q(k,1)
∴PQ直線方程為
y-1=(x-k),
與x
2=2y聯(lián)立化簡
-x+=0∴
x3x4=2•…①
x3+x4=…②
把①②代入(Ⅰ)式中,
則分子
2x3x4-(k+x0)(x3+x4)+2kx0=-(k+x0)+2kx0=
4y0k-2(y0-1)(k+x0)+2k-2k2x0-4x0 |
x0-k |
…(Ⅱ)
又P點在直線y=kx-1上,
∴y
0=kx
0-1代入Ⅱ中得:
∴
-=
2k-2k-2k+2x0-2x0+2k+2k2x0-2k2x0 |
x0-k |
=0故得證
點評:解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,一般是設出直線方程,將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去一個未知數(shù),得到關(guān)于一個未知數(shù)的二次方程,然后利用韋達定理找突破口.