Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．
（1）證明：PC⊥平面BEF．
（2）求二面角F-BE-C的大�。�

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PC⊥平面BEF．
（2）求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角F-BC--C的大�。�

解答 證明：（1）以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（1，$\sqrt{2}$，1），P（0，0，2），C（2，2$\sqrt{2}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{BE}$=（-2，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BE}$=0，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{BF}$=0，
∴PC⊥BE，PC⊥BF，
又BE∩BF=B，∴PC⊥平面BEF．
解：（2）由（1）知$\overrightarrow{PC}=（2，2\sqrt{2}，-2）$是平面BEF的法向量，
又PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{PA}=（0，0，-2）$是平面BEC的一個法向量，
∵cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{PA}$＞=$\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{PC}|•|\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{4}{\sqrt{16}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{2}$，
由圖知二面角F-BE-C的大小θ為銳角，
∴cos$θ=\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴二面角F-BC--C的在小為60°．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．