Question

（2012•瀘州二模）已知雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1，橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、D分別是雙曲線和橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，B、C分別為雙曲線和橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若E是橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)E的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線CP、MQ的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1，可求A(1，0)，B(

2

，0)，根據(jù)|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列，可得C(2，0)，D(2

2

，0)，根據(jù)D是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），將y=k（x+2）代入

x2

4

+

y2

2

=1整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，可求P的坐標(biāo)；設(shè)Q（x₀，0），x₀≠-2，若以MP為直徑的圓恒過(guò)直線CP、MQ的交點(diǎn)，則MQ⊥CP，從而有

MQ

•

CP

=0，進(jìn)而可知存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線CP、MQ的交點(diǎn)．

解答：解：（Ⅰ）由已知A是雙曲線的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，B為雙曲線的右頂點(diǎn)，雙曲線方程

x2

2

-

y2

2

=1，
∴A(1，0)，B(

2

，0)
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
∴C(2，0)，D(2

2

，0)
∵D是橢圓的右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，
∴a=2，

a2

c

=2

2

∴a=2，b=c=

2

∴所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C（2，0），E（-2，0），設(shè)直線EM的方程為：y=k（x+2），P（x₁，y₁）
∵M(jìn)C⊥CE，∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入

x2

4

+

y2

2

=1整理得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0
∵-2x1=

8k2-4

1+2k2

∴x1=

-4k2+2

1+2k2

∴y1=k(x1+2)=

4k

1+2k2

∴P（

-4k2+2

1+2k2

， 

4k

1+2k2

）
設(shè)Q（x₀，0），x₀≠-2
若以MP為直徑的圓恒過(guò)直線CP、MQ的交點(diǎn)，則MQ⊥CP
∴

MQ

•

CP

=0
∵

MQ

=(x0-2，-4k)，

CP

=(

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)
∴

MQ

•

CP

=(x0-2，-4k)• (

-8k2

1+2k2

，

4k

1+2k2

)=0
∴

8k2

1+2k2

×x0 =0
∴x₀=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線CP、MQ的交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是將兩直線與橢圓方程聯(lián)立，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系．