Question

已知sin（α+β）+cos（α+β）=0，2sin（α-β）-cos（α-β）=0，則

sin2α

sin2β

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)題意，求出tan（α+β）與tan（α-β）的值，利用兩角和或差的正切公式，求出tanα、tanβ的值，即可求出sin2α、sin2β的值，從而求出

sin2α

sin2β

的值．

解答： 解：∵sin（α+β）+cos（α+β）=0，
∴cos（α+β）≠0，
∴tan（α+β）=-1，
即

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-1①；
又∵2sin（α-β）-cos（α-β）=0，
∴cos（α-β）≠0，
∴tan（α-β）=

1

2

，
即

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

1

2

②；
由①、②組成方程組，解得

tanα=3+ 10 tanβ= 1+ 10 3

，或

tanα=3- 10 tanβ= 1- 10 3

；
當(dāng)tanα=3+

10

，tanβ=

1+ 10

3

時(shí)，
sin2α=

2tanα

1+tan2α

=

2(3+ 10 )

1+(3+ 10 )2

=

1

10

，
sin2β=

2tanβ

1+tan2β

=

2× 1+ 10 3

1+( 1+ 10 3 )2

=

3

10

；
∴

sin2α

sin2β

=

1

3

；
同理，當(dāng)tanα=3-

10

，tanβ=

1- 10

3

時(shí)，
sin2α=-

1

10

，sin2β=-

3

10

；
∴

sin2α

sin2β

=

1

3

．
綜上，

sin2α

sin2β

=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)求值的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)靈活應(yīng)用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值，是中檔題．