【題目】試求出最小的正整數(shù)，使得同時(shí)滿足：

（1）（對表示不大于的最大整數(shù)）；

（2）被190除所得的余數(shù)為11.

【答案】

【解析】

由條件（1）可知.

否則，若，則有，這與條件（1）矛盾.故必有.

令（為正整數(shù)）代入條件（1）中的不等式得

，

即. ①

由于為嚴(yán)格遞增函數(shù)，而滿足式①，不滿足式①，

所以，式①的解為.從而條件（1）中不等式的解為.

又因99與190互質(zhì)，所以，由歐拉定理得，

即. ②

引理：若，是正整數(shù)，而是最小的正整數(shù)，使得，則必有.

引理的證明：顯然（由的最小性）.

記（，，且）.

由及，得，

即.

再由為正整數(shù)且為最小者及，知只有.于是，有，即.

回到原題.

由式②及引理知.所以，.

下面求的值.

注意到，，

，，

，，

，，

所以，.

現(xiàn)有，而，且99與190互質(zhì)，所以有.

由及上述引理，得，即.

再由，得.于是，，.

故所求的最小正整數(shù).

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我市南澳縣是廣東唯一的海島縣，海區(qū)面積廣闊，發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù)．根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量（克）在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布．

（1）購買10只該基地的“南澳牡蠣”，會(huì)買到質(zhì)量小于20g的牡蠣的可能性有多大？

（2）2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x（人）與年收益增量y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：

人工投入增量x（人）

2

3

4

6

8

10

13

年收益增量y（萬元）

13

22

31

42

50

56

58

該基地為了預(yù)測人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：；

模型②：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：的附近，對人工投入增量x做變換，令，則，且有．

（i）根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程（精確到0.1）；

（ii）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量．

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

附：若隨機(jī)變量，則，；

樣本的最小二乘估計(jì)公式為：，

另，刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)

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【題目】已知函數(shù)．

1當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

2當(dāng)，時(shí)，對任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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【題目】集合，，.若集合中的所有元素都能用中不超過9個(gè)的不同元素相加表示，求，并構(gòu)造達(dá)到最小時(shí)對應(yīng)的一個(gè)集合.

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【題目】已知、、為大于3的整數(shù)，將的立方體分割為個(gè)單位正方體，從一角的單位正方體起第層、第行、第列的單位正方體記為．求所有有序六元數(shù)組的個(gè)數(shù)，使得一只螞蟻從出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)小正方體恰一次到達(dá).（注）螞蟻可以從一個(gè)單位正方體爬到另一個(gè)與之有公共面的相鄰正方體．

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【題目】已知雙曲線： 的左、右焦點(diǎn)分別為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線分別交雙曲線左、右支于另一點(diǎn)， ，且，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】農(nóng)歷戊戌年即將結(jié)束，為了迎接新年，小康、小梁、小譚、小劉、小林每人寫了一張心愿卡，設(shè)計(jì)了一個(gè)與此心愿卡對應(yīng)的漂流瓶.現(xiàn)每人隨機(jī)的選擇一個(gè)漂流瓶將心愿卡放入，則事件“至少有兩張心愿卡放入對應(yīng)的漂流瓶”的概率為___

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