Question

（06年湖北卷理）（12分）

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。

（Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

（Ⅱ）、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系、直線于平面所成的角的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力，考查運(yùn)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

解析：解法1：（Ⅰ）連AC，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O,AP與平面相交于點(diǎn)，,連結(jié)OG，

因?yàn)镻C∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當(dāng)m＝時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為.

（Ⅱ）可以推測(cè)，點(diǎn)Q應(yīng)當(dāng)是A_IC_I的中點(diǎn)O₁，因?yàn)?/p>

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據(jù)三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。