Question

如圖，四棱錐中，平面，底面為矩形，為的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時，滿足平面，此時.

【解析】

試題分析：（1）要證線線垂直，通常只需證線面垂直，本題中要證，只需證明平面，而要證平面，又只需證垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可，這兩個垂直關(guān)系，由題中的為矩形及平面不難得到，命題得證；（2）先假設(shè)在線段上能找到一點(diǎn)，使得平面，此時平面平面，平面，由線面平行的性質(zhì)可知，由是的中點(diǎn)，在中可知，也是的中點(diǎn)，此時再根據(jù)題中的條件，即可求出的值，最后采用綜合法進(jìn)行證明即可，問題得以解決.

試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720275471853999/SYS201411172028106097525389_DA/SYS201411172028106097525389_DA.013.png">平面，平面，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720275471853999/SYS201411172028106097525389_DA/SYS201411172028106097525389_DA.033.png">是矩形，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720275471853999/SYS201411172028106097525389_DA/SYS201411172028106097525389_DA.035.png">，所以平面 4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720275471853999/SYS201411172028106097525389_DA/SYS201411172028106097525389_DA.036.png">平面，所以 6分

（2）取中點(diǎn)，連結(jié)

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720275471853999/SYS201411172028106097525389_DA/SYS201411172028106097525389_DA.041.png">為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720275471853999/SYS201411172028106097525389_DA/SYS201411172028106097525389_DA.044.png">平面，平面，所以平面 10分

此時

即在邊上存在一點(diǎn)，使得平面，的長為 12分.

考點(diǎn)：1.空間中的垂直關(guān)系；2.空間中的平行關(guān)系.