Question

【題目】設是由個有序?qū)崝?shù)構成的一個數(shù)組，記作：.其中稱為數(shù)組的“元”，稱為的下標，如果數(shù)組中的每個“元”都是來自數(shù)組中不同下標的“元”，則稱為的子數(shù)組.定義兩個數(shù)組，的關系數(shù)為.

（1）若，，設是的含有兩個“元”的子數(shù)組，求的最大值；

（2）若，，且，為的含有三個“元”的子數(shù)組，求的最大值；

（3）若數(shù)組中的“元”滿足，設數(shù)組含有四個“元”，且，求與的所有含有三個“元”的子數(shù)組的關系數(shù)（）的最大值.

Answer 1

【答案】（1）2（2）1（3）

【解析】

（1）根據(jù)題中“元”的定義，列出所有的含有兩個“元”的子數(shù)組，當取到時，取到最大值；

（2）需要進行分類討論，分為中含0和不含0這個“元”兩種具體情況進行分類討論，再結(jié)合不等式性質(zhì)進行合理放縮即可求得最值；

（3）可以借鑒（2）中解題方法，分為和兩種情況，再結(jié)合基本不等式性質(zhì)經(jīng)行求解即可

（1）由題，列出所有符合題意的子數(shù)組：，，，，

，，由定義，，計算可得，當時，；

（2）由，可知，實數(shù)具有對稱性，故分為中含0和不含0這個“元”兩種具體情況進行分類討論；

①當0是中的“元”時，由于中的三個“元”都相等及中三個“元”的對稱性，可只計算的最大值，，

由可得，

故當時達到最大值，故；

②當不是中的“元”時，

又，根據(jù)同向可加性可得

，即，則

，當且僅當時，取到最大值，故；

綜上所述，；

（3）解法和（2）接近，，，根據(jù)及

的對稱性，分為和兩種情況進行求解；

當時，為了保證不等式的等價性，需對做變形處理，得

，此時

，當且僅當時等號成立；

；

當時，，此時，

綜上所述，