已知：函數(shù)f（x）=a•lnx+bx2+x在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)y=數(shù)學(xué)公式f（x）+數(shù)學(xué)公式的反函數(shù)為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數(shù)t（x）的最大值．

解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=0，
代入f（x）=a•lnx+bx2+x，得b=-1．
∴f（x）=a•lnx-x2+x，
，
由切線方程知f′（1）=1，
∴a=2，
故f（x）=2lnx-x2+x．
（2）∵f（x）=2lnx-x2+x，
∴=lnx，
∴p（x）=ex．
∵t（x）=ex（1-x），x∈R，
∴t′（x）=ex•（1-x）-ex=-xex，
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，t′（x）＞0，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，t′（x）＜0，
∴t（x）的最大值為t（0）=1．
分析：（1）當(dāng)x=1時(shí)，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx2+x，得b=-1．故，由切線方程知f′（1）=1，a=2，由此能求出f（x）的表達(dá)式．
（2）由f（x）=2lnx-x2+x，知=lnx，故p（x）=ex．由t（x）=ex（1-x），x∈R，知t′（x）=ex•（1-x）-ex=-xex，由此能求出t（x）的最大值．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法和函數(shù)最大值的求解，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)當(dāng)數(shù)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，又有函數(shù)g（θ）=sin2θ+mcosθ-2m，θ∈[0，
π2
]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＞0}．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）求M∩N．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x)=
2x2x+1
．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并證明之．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=xa的圖象過點(diǎn)(
1
2
，
2
2
)，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞
增
增
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是減函數(shù)，證明f（x）在區(qū)間（-b，-a）上仍是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：函數(shù)f（x）=x3-6x2+3x+t，t∈R．
（1）①證明：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
②求函數(shù)f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)所對應(yīng)的圖象上兩點(diǎn)之間的距離；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=exf（x）有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求t的取值范圍．

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