Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n=a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^?）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n= （n∈N^?），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較S₂與n的大��；
（3）令c_n= （n∈N^*），數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n．求證：對(duì)任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

Answer 1

解：（1）由題知，，
由累加法，當(dāng)n≥2時(shí)，
代入a₁=1，得n≥2時(shí)，
又a₁=1，故a_n=n•3^n-1（n∈N^*）．
（2）n∈N^*時(shí)，．
方法1：當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；
當(dāng)n=3時(shí)，．
猜想當(dāng)n≥3時(shí)，．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=3時(shí)，由上可知成立；
②假設(shè)：n=k（k≥3）時(shí)，上式成立，即．
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=，
所以當(dāng)n=k+1時(shí)成立．
由①②可知當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，．
綜上所述：當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=2時(shí)，；
當(dāng)n≥3（n∈N^*）時(shí)，．
方法2：
記函數(shù)
所以
則
所以f（n+1）＜f（n）．
由于，此時(shí)；
，此時(shí)；
，此時(shí)；
由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3時(shí)，f（n）≤f（3）＜0，此時(shí)．
綜上所述：當(dāng)n=1，2時(shí)，；當(dāng)n≥3（n∈N^*）時(shí)，．
（3）
當(dāng)n≥2時(shí)，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，．
且故對(duì)n∈N^*，T_n＜2得證．
分析：第1問對(duì)條件式子兩邊同除以n，然后要用累加法可求出，從而可求出a_n．
第2問有兩種方法：方法1先對(duì)n=1，2，3時(shí)對(duì)進(jìn)行比較，從而猜想出一個(gè)結(jié)論，然后對(duì)這個(gè)結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
方法2把的差構(gòu)造，然后利用f（n+1）-f（n）的結(jié)果正負(fù)判斷出f（n）的單調(diào)性．再通過n=1，2，3時(shí)，的結(jié)果變化趨勢(shì)得出最后的結(jié)論．第3問先由a_n寫出c_n，然后先對(duì)的用放縮法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯�，然后采用裂�?xiàng)法得出一個(gè)結(jié)果，然后再對(duì)T_n的除第一項(xiàng)以外的每一項(xiàng)按此進(jìn)行放縮和裂項(xiàng)，運(yùn)算之后很容易就看出與2的大小關(guān)系，就可以得出最后的證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題第1問主要考查了用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)．第2問主要考查了數(shù)學(xué)歸納證明，采用先猜想后證明的思維方式．第3問主要采用了放縮法及裂項(xiàng)法，難點(diǎn)在于放縮的把握放縮的方向和放縮的程度．總體來說第3問比較難．