Question

18．已知函數(shù)f（x）=|a-3x|-|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在實(shí)數(shù)x，使得不等式f（x）≥1-a+2|2+x|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；
（2）由題意知這是一個存在性的問題，須求出不等式左邊的最大值，可運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)可得最大值，再令其大于等于a，即可解出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=2時：f（x）=|3x-2|-|x+2|≤3，
$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{2}{3}}\\{3x-2-x-2≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜\frac{2}{3}}\\{2-3x-x-2≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{2-3x+x+2≤3}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{4}$≤x≤$\frac{7}{2}$；
（2）不等式f（x）≥1-a+2|2+x|成立，
即|3x-a|-|3x+6|≥1-a，
由絕對值不等式的性質(zhì)可得||3x-a|-|3x+6||≤|（3x-a）-（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值為|a+6|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a≥0}\\{{（a+6）}^{2}{≥（1-a）}^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜0}\\{a+6≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥-$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式，求解本題的關(guān)鍵是正確理解題意，區(qū)分存在問題與恒成立問題的區(qū)別，本題是一個存在問題，解決的是有的問題，本題是一個易錯題，主要錯誤就是出在把存在問題當(dāng)成恒成立問題求解，因思維錯誤導(dǎo)致錯誤．