已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間?
(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-2,+2]上的最大值與最小值?
分析:(1)已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,即f(1)=-1,f′(1)=0,所以先求導(dǎo)函數(shù),再代入列方程組,即可解得a、b的值
(2)分別解不等式f′(x)>0和f′(x)<0,即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間
(3)由(2)可得函數(shù)f(x)在[-2,2]上的單調(diào)性,從而求出函數(shù)在[-2,2]上的極大值和極小值,最后比較端點(diǎn)值f(-2),f(2)與極值的大小確定函數(shù)在[-2,2]上的最大值與最小值
解答:解:(1)∵f′(x)=3x2-6ax+2b,函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,
∴f(1)=-1,f′(1)=0
∴1-3a+2b=-1,3-6a+2b=0
解得a=
1
3
,b=-
1
2

∴f(x)=x3-x2-x
(2)∵f′(x)=3x2-2x-1
∴由f′(x)=3x2-2x-1>0得x∈(-∞,-
1
3
)∪(1,+∞)

由f′(x)=3x2-2x-1<0得x∈(-
1
3
,1)

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:(-∞,-
1
3
), (1,+∞)
,減區(qū)間為:(-
1
3
,1)

(3)由(2)可得函數(shù)f(x)在[-2,-
1
3
)上是增函數(shù),在[-
1
3
,1)上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù)
且f(-2)=-10,f(-
1
3
)=
5
27
,f(1)=-1,f(2)=2
∴函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-2,+2]上的最大值f(2)=2
最小值為f(-2)=-10
點(diǎn)評(píng):本題考察了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
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-1)2+(
b
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-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
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x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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