Question

平行四邊形ABCD所在平面a外有一點P，且PA=PB=PC=PD，求證：點P與平行四邊形對角線交點O的連線PO垂直于AB、AD．

Answer 1

證明：連接AC、BD交與一點O，連接PO，PA、PC、PB、PD，
則由PA=PB=PC=PD，所以三角形PAC為等腰三角形，
O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可以證明PO⊥BD，
又AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，
而AB?平面ABCD，BD?平面ABCD，從而PO垂直于AB、AD．
分析：要證明PO垂直于AB、AD，只需證明PO垂直于平行四邊形ABCD所在平面即可，由PA=PB=PC=PD，可以證明三角形PAC、PBD為等腰三角形，O為平行四邊形ABCD的對角線的交點，因此，可以得到PO⊥AC，PO⊥BD，從而可以證明結論．
點評：本題考查線線垂直的證明，將其轉化為線面垂直來證明，這也是證明線線關系、線面關系常用的方法．