Question

（本小題滿分13分）已知四棱柱，側棱底面，底面中，

，側棱.

（1）若E是上一點，試確定E點位置使平面；

（2）在（1）的條件下，求平面BED與平面ABD所成角的余弦值。

 

Answer 1

（1）E點坐標為(0，0，3)即E為且靠近的四等分點時，EB∥平面;（2）.

【解析】

試題分析：（1）當E為四等分點時，即時，EB∥平面．建立空間直角坐標系，確定E點坐標，即可得出結論；

（2）求出平面BED法向量、平面ABCD法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面BED與平面ABD所成角的余弦值．

試題解析：【解析】
(1)當E為AA1四等分點時，即 時，EB∥平面.

證明：以AB為x軸，以AD為y軸，為z軸建立空間直角坐標系，

A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，1，0)， ，

設E(0，0，z)，則 ＝(－2，0，z)， ＝(－2，－1，4)，＝(－2，3， 0)．

∵EB∥平面，不妨設 ，∴(－2，0，z)＝x(－2，－1，4)＋y(－2，3，0)．

∴解得z＝3.

所以當E點坐標為(0，0，3)即E為且靠近的四等分點時，EB∥平面.(6分)

(2)∵平面ABCD，

∴可設平面ABCD法向量為＝(0，0，1)．

設平面BED法向量為＝(x，y，1)，根據＝(－2，0，3)，＝(－2，4，0)，

∴ 解得 ．

∴ .

由題意可得，平面BED與平面ABD所成角的余弦值為.

考點：1.用空間向量求平面間的夾角；2.直線與平面平行的判定．