Question

（2010•重慶一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足：a1=3，

an+1+an

n+1

=

8

an+1-an

(n∈N*)，設(shè)bn=

1

an

，S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求證：Sn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題中已知條件化簡(jiǎn)可得出a_n+1²與a_n²的關(guān)系，再求出a_n²，即可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)（I）中求得的數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后可得 bn＜

1

4

×(

1

n

-

1

n+1

)，裂項(xiàng)求和即可．

解答：解：（I）∵

an+1+an

n+1

=

8

an+1-an

，
∴a_n+1²-a_n²=8（n+1）
∴a_n²=（a_n²-a_n-1²）+（a_n-1²-a_n-2²）+…+（a₂²-a₁²）+a₁²=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）²
∴a_n=2n+1．…（5分）
（II）

b

2 n

=

1

a 2 n

=

1

(2n+1)2

＜

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)∴Sn＜

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，（II）求解的關(guān)鍵是根據(jù)其通項(xiàng)的形式將其項(xiàng)分為兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)求和的技巧求和．